Äärellinen sananpituus

Tämän päivän luennolla käsiteltiin kappale 2, jossa tarkastellaan äärellisen sananpituuden vaikutuksia. Meidän tarkastelussamme nämä ilmenevät A/D-muunnoksen yhteydessä sekä suodatettaessa äärellisellä laskentatarkkuudella. Pääpaino on ensimmäisessä tyypissä. Luennolla käsiteltiin näytteistyksessä käytettävät kvantisointitasot: esimerkiksi (1+7) bitin esityksessä käytettävissä ovat seuraavat 256 tasoa:

-128/128, -127/128, ..., 0, ..., 126/128, 127/128.

Pyöristettäessä lähimpään lukuun syntyvä kvantisointivirhe on aina välillä -1/256...1/256. Yleisesti pyöristys (1+b) bittiin aiheuttaa enintään virheen 2^(-b) / 2 suuntaan tai toiseen.

Seuraavaksi tätä yksinkertaista virhemallia käytettiin johdettaessa arvio virheen varianssille, joka on suoraan verrannollinen syntyvän kvantisointivirheen tehoon. Tätä kautta määritellään SNR, eli signaali-kohinasuhde, eli häiriöetäisyys. Tämä suure kertoo jotain äänenlaadusta, ja saatavia tuloksia tullaan tarvitsemaan kappaleessa 6, kun päätellään montako bittiä signaalista uskalletaan poistaa kompressiossa ilman äänenlaadun havaittavaa heikkenemistä.

Kappaleessa 2.1 johdettiin siis A/D-muunnoksen kvantisointikohinan varianssille kaava. Tässä yhteydessä luotiin silmäys Wikipedian artikkeliin eri kohinatyypeistä (sekä kevennyksenä maininta urbaanilegendasta nimeltä brown note). Lisäksi todettiin, etteivät sivun 19 yläreunan ehdot ole voimassa esim. silloin jos signaalin amplitudi on hyvin pieni.

Jos ehtojen oletetaan olevan voimassa, voidaan osoittaa kohinan odotusarvon olevan nolla ja varianssin yhtä kuin 2^(-2b) / 12. Varianssin laskennassa hyödynnettiin alaviitteen kaavaa, jota havainnollistettiin (vanhalla) Ässä-arpa-esimerkillä, ja laskettiin vastaavalla kaavalla arpavoiton odotusarvoksi 1,59 euroa.

Yllä olevaa kaavaa voidaan edelleen jalostaa signaali-kohinasuhteen käsitteeksi (SNR), joka kertoo signaalin tehon suhteessa kohinan tehoon. Kun kaavaa pyöriteltiin, havaittiin jokaisen ylimääräisen bitin (per näyte) nostavan SNR:ää kuudella bitillä.

Kappaleessa 2 johdettiin kaava varianssille suodatuksen jälkeen ja kappaleessa 2.3 tutkittiin suotimen kertoimien pyöristämisen vaikutusta. Tämähän täytyy tehdä aina kun suodin toteutetaan huonomman tarkkuuden alustalla kuin Matlab (esim. tällä 17-bitin DSP:llä).

Lopuksi alustettiin tehtävän 2.10 tavoitteita. IIR-suotimilla voidaan nimittäin päätyä ns. rajasykliin. Tällöin vaste jää värähtelemään alimmille kvantisointitasoille ikuisesti, koska pyöristys kumoaa IIR-suotimen normaalin vaimenemisen.